さんじゅつまん／行列のできる入試問題飯店　解説編


ここは現在分析中の豊島岡女子学園中学の解説コーナーです。解説の最後に、同じ学校の同じ年度の問題で、解説した問題より少し簡単そうな問題を１問出題しています。それはテイクアウト用です。お持ち帰りになってご家庭でお召し上がり下さい。解答送信の際は「Ｔ＋番号」でお願いしますね。 <注意> 解説した問題とテイクアウト問題には、単元的な関連はありません。同じ学校の同じ年度の問題という意味での関連です。ボク一人で全部解説しきれないので、皆さんと連携して進めるためにテイクアウト問題を用意してみたのです;^^)　一緒にがんばってください！サンタクロースをクリックすると、問題ページにバックします。
第３問　豊島岡女子学園中学校　2000年度－4番(3)　解説と解答　　＜解説＞立体図形と規則性の融合問題です。ただし、立体に関する知識はあまり必要ないですね。積み木立体の表面積は６つの方向からカウントするという鉄則を知っておけば十分です。むしろ、規則性のウェイトが濃い問題なので、規則性が得意な人には易しかったと思われます。操作を繰り返していくと、上に示したように立方体は増えていきます。図ア（図ウ）は操作を２回行った立体、図イ（図エ）は操作を３回行った立体です。問題では操作を５回行っていますから、正面から見える面の数は、図ア、図イの続きを考え、１＋３＋５＋７＋９＋11＝36個真上から見える面の数は、図ウ、図エの続きを考え、（１＋３＋５＋７＋９）×２＋11＝61個となります。正面から見える個数は、前後左右の４方向から同じ個数になり、真上から見える個数は、上下の２方向から同じ個数になります。したがって、すべての方向（６方向）から見える面の数は、36×４＋61×２＝144＋122＝266個１個分の正方形の面積は１×１＝１ｃｍ²だから、求める表面積は１×266＝266ｃｍ²です。＜解答＞　266ｃｍ²
テイクアウト問題　豊島岡女子学園中学校　2000年度－3番＜Ｔ３＞川の上流にＡ町、下流にＢ町があり、川に沿って道路があります。川では、静水での速さが等しい２そうのボートが、静水での速さを一定に保ちながらＡ町とＢ町の間を往復しています。道路では自動車が一定の速さで走っています。川の流れの速さは時速３ｋｍです。今、２そうのボートがそれぞれＡ町、Ｂ町を同時に出発したとき、出会うまでに進んだ距離の比は４：１でした。また、ボートと自動車がそれぞれＡ町、Ｂ町を同時に出発したとき、出会うまでに進んだ距離の比は１：４でした。さらに、ボートと自動車がＡ町を同時に出発すると、自動車がＢ町に着いたとき、ボートはＡ町からＢ町に向かって６ｋｍの地点にいました。このとき、次の各問いに答えなさい。（１）ボートの静水での速さは時速何ｋｍですか？（２）Ａ町とＢ町の間は何ｋｍありますか？（３）花子さんがＡ町をボートで出発したところ、ある地点で忘れ物に気がつき　すぐにそのままボートでＡ町にもどり、　もどってから30分後にＡ町から自動車でＢ町に向かいました。　結局、忘れ物をせずにボートで行ったときにＢ町に着くはずであった時刻に　Ｂ町に着きました。　花子さんがＡ町に引き返した地点はＡ町から何ｋｍのところですか？おなじみ流水算の問題です。流水算が不安な人は、みんなの算数講座ＰＡＲＴ２の第７講座をじっくりお読みください。
第２問　豊島岡女子学園中学校　1999年度－6番　解説と解答　＜解説＞Ｎ進数の問題です。この問題では、０、１、２、３という数字を使っているから４進数です。３までだから３進数ではありません。０～３までの４個の数字を使っているから４進数です。Ｎ進数のＮは使っている数字の個数、すなわち<一番大きい数字＋１>で決まります。これからしばらくこの学校ばっかり分析しますけど、1999年あたりは、まだ簡単だったみたいですね。この数年、豊島岡のレベル充実はめざましいものがありますが、偏差値の上昇とともに算数が難しくなる。どうやらこれは事実のようです。問題が増えていくにつれ、みなさんもそう感じると思いますヨ。４進数は、下位（右）の位から順に、１の位、４の位、４×４＝16の位、４×４×４＝64の位です。 ※Ｎ進数の詳しい解説は、みんなの算数講座初心者編第４～５講座をどうぞ！（１）まずは、基本の確認も含め、ていねいに考えます。（解説文中の青いカラー数字は４進数を示します）計器の [3101] は４進数の3101です。これを10進数に直すと、64×３＋16×１＋４×０＋１×１＝209 になり、これはＤのダイヤルが209めもり動いたことを示しています。Ｂのダイヤルは、Ｄのダイヤルが16めもり（４×４）動くと１めもり動きますから、それを４倍して、Ｄのダイヤルが64めもり動くと、Ｂのダイヤルは１回転します。 209÷64＝３回転あまり17　あまりの17は、Ｂの３回転後にＤが動いためもりです。この間にＢは１めもり動きますから、Ｂは３回転と１めもり、つまり３と1/4回転したことがわかります。【略解】Ａのダイヤルが最初に３を指した状態は、すなわち、となりのＢが最低３回転したことを示しています。　　　　Ｂは３回転してさらに１めもり。よって、３と1/4回転です。（２）大玉３個、中玉７個、小玉16個で動くＤのめもりは、４×３＋３×７＋１×16＝49めもり (1)と逆に、これを４進数に直すと計器のダイヤルの状態がわかります。筆算図は省略しますが（心配な人は初心者講座第４～５講座を！）10進数の49を４進数に直すと 301 です。計器は４ケタあるから上位の位に0を収め、0301が正解となります。（３）計器の示す [2312] は４進数の2312です。これを10進数に直すと182となり、これはＤのダイヤルが182めもり動いたことを表しています。中玉20個によって、Ｄのダイヤルは３×20＝60めもり動きますから、大玉と小玉によって動いためもりは 182－60＝122めもりです。なるべくたくさん大玉を使う条件ですから、122÷４＝30あまり２　←大玉１個で４めもりよって、大玉が30個とわかり、残りの２めもりは２÷１＝２より、小玉２個によって動きます。＜解答＞　（１）３と1/4回転　（２）[0301]　（３）大玉30個小玉２個
テイクアウト問題　豊島岡女子学園中学校　1999年度－3番＜Ｔ２＞自転車Ａは車輪の半径が30ｃｍ、ペダルを１回転すると車輪が２と2/3回転します。このとき、次の各問いに答えなさい。（１）ペダルを１回転させると自転車Ａは何ｃｍ進みますか？　小数で答えなさい。（２）自転車Ｂはペダルを１回転すると車輪が１と1/2回転します。　自転車Ａと同じ距離をいっしょに進んだところ、自転車Ａではペダルを300回転、　自転車Ｂではペダルを800回転させました。自転車Ｂの車輪の半径を求めなさい。　ただし、円周率は3.14とします。
第１問　豊島岡女子学園中学校　1999年度－5番　解説と解答＜解説＞速さの応用、動点移動の問題です。旅人算でもあり、規則性も使える良問です。だけど… 豊島岡といえば、都内トップクラスの女子進学校ですが、本問に関しては、信じられないミスがありました。このＨＰでの掲載にあたっては、ボクが一生懸命問題文を直しましたが、原題では、動くのが点でなく、ナント３人の女の子だったんです。どう考えても、１辺３ｃｍの周上を人間が歩くのは変でしょう？出題者の先生が、よほど疲れていたのかも知れません。トップ進学校でもこんな事件があるんです;^^) ３つの点をまとめて考えるのは難しいので、２つずつ組にして考えるのが上手な作戦です。ＰがＱにはじめて追いつくのは　４÷（２－１）＝４秒後。さらに４秒たつと（通算８秒後）、ＰはＱを追い抜き４ｃｍ前方へ出ます。そのとき、ＰはＱを８ｃｍ後方から追いかけることになるので、さらに４秒たつと（通算12秒後）、ＰはＱの４ｃｍ後方に迫ります。そしてさらに４秒たつと（通算16秒後）、ＰはＱに追いつきます（２度目）。このことから、ＰとＱの間には次のような規則性が発見できます。ＰがＱに追いつく　４秒後、16秒後、28秒後、40秒後、…　（ア）ＰがＱを４ｃｍ追い抜く　８秒後、20秒後、32秒後、44秒後、…　（イ）ＰがＱの後方４ｃｍに迫る　12秒後、24秒後、36秒後、48秒後、…　（ウ）次に、まったく同じことをＱとＲで考えます。ＱがＲにはじめて追いつくのは　４÷（１－0.6）＝10秒後。さらに10秒たつと（通算20秒後）、ＱはＲを追い抜き、４ｃｍ前方へ出ます。そのとき、ＱはＲを８ｃｍ後方から追いかけることになるので、さらに４秒たつと（通算30秒後）、ＱはＲの４ｃｍ後方に迫ります。そしてさらに４秒たつと（通算40秒後）、ＱはＲに追いつきます（２度目）。このことから、ＱとＲの間には次のような規則性が発見できます。ＱがＲに追いつく　10秒後、40秒後、70秒後、…　（エ）ＱがＲを４ｃｍ追い抜く　20秒後、50秒後、80秒後、…　（オ）ＱがＲの後方４ｃｍに迫る　30秒後、60秒後、90秒後、…　（カ）さらにＲとＰについて考えてもよいでしょうが、それは省くことができます。（１）の解答は、（イ）と（オ）または（ウ）と（カ）に共通する時間でＯＫです。（イ）と（オ）に共通する時間なら、ＰがＱの４ｃｍ前にいて、ＱはＲの４ｃｍ前にいますから、ＰとＲも４ｃｍ離れているはずです。（ウ）と（カ）に共通する時間でも同じことです。 ※（イ）と（カ）、（ウ）と（オ）に共通する時間では、ＰとＲが重なってしまうからダメ。（１）の解答は、（イ）と（オ）に共通する20秒後です。（２）の解答は（ア）と（エ）の一致で、40秒後となります。＜解答＞　（１）20秒後　（２）40秒後
テイクアウト問題　豊島岡女子学園中学校　1999年度－4番(1) ＜Ｔ１＞下の図のように、円柱Ａから同じ高さの円柱Ｂをくり抜いたところ、円柱Ａと同じ表面積を持つ立体Ｃができました。このとき、円柱Ａの底面の半径は20ｃｍ、円柱Ｂの底面の半径は４ｃｍでした。円柱Ａの高さは何ｃｍですか？　ただし、円周率は3.14とします。