みんなの 講座
自然数を２つのチームに分類するお話です。
２つのチームは素数（そすう）チームと合成数（ごうせいすう）チームです。
素数とは、１とその数自身以外に約数を持たない数。素数でなければ合成数です。
素数の方は有名ですが、合成数の方は名前が有名じゃないかも知れませんね。
反対の熟語として、両方覚えておいてください。
あっ、あと、１は素数でも合成数でもありません。
１は今回のお話のレフェリーみたいな数で、まったく中立の立場です。
だから正確に言えば、自然数は「１」か「素数」か「合成数」ということになります。
え？ ０ですか？
０は自然数には入れないんです。 ←０は整数ですが自然数ではありません
それと、０より小さいマイナスの数も、算数の講座なので考えないことにします。
では、ここまでの説明を表にして整理しておきましょう。
| 整数 |
３，16，100のように、０に１ずつ加えていくことで得られる数.。
−４，−20のようにマイナスでも整数です（算数範囲外・中１で学習）
もちろん０も整数です。 |
| 自然数 |
整数のうち、０とマイナスを除外した数。１以上の整数。
お風呂の中で数を数えるときに使う数という教え方もあります。 |
| 素数 |
自然数の範囲で、１とその数自身以外に約数を持たない数。
ただし、１は素数ではありません。 |
| 合成数 |
１でも素数でもない自然数。素数の積の形で表現できます。 |
完全数
（おまけ） |
その数自身を除く約数の和が、その数自身と一致する数。
６の６以外の約数の和は１＋２＋３＝６。∴６は完全数。６の次は28。
その次はかなり遠くまでありません。 |
さて今回のタイトルはエラトステネスのふるいです。
エラトステネスのふるいとは、自然数を素数と合成数に分けていく方法です。
それでは、エラトステネスのふるいによって
100までの自然数を素数と合成数に分けてみましょう。
１から順に自然数を書き並べ（調べたいところまで）、
次の手順で素数を拾い上げていきます。
Ａ）１は素数ではないので消す
Ｂ）２は素数なので残し、２の倍数は２で割れるからすべて消す
Ｃ）３は素数なので残し、３の倍数は３で割れるからすべて消す
Ｄ）５は素数なので残し、５の倍数は５で割れるからすべて消す
Ｅ）７は素数なので残し、７の倍数は７で割れるからすべて消す
100までのふるいはここで終わり
Ｆ）11は素数なので残し、11の倍数は11で割れるからすべて消す
・・・・・
下に１〜100までの自然数で「ふるい」を実行した結果をのせておきます。
なお、ブルーになっているところが消された数（合成数）で、
白いところが残された素数です。
| １ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
７ |
８ |
９ |
10 |
| 11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
| 21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
| 31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
| 41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
| 51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
| 61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
| 71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
| 81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
| 91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
なかなか楽しいでしょう？
上の１〜100までの「ふるい」では、７を残して、７の倍数49と91を消したとき、
消されずに残った数が素数とわかります。
なぜなら、７の次に小さい素数は11ですよね？
もちろん11は素数なので残っていますが、それ以外の11の倍数は、
22が２の倍数のときに消え、33が３の倍数のときに消え、・・・
というようにすべてが消えているのです。
つまり、11×□という11の倍数で、□が11より小さいものは残っていません。
ところが□を11とすると 11×11＝121
ですから、この表の中にはありません。
というわけで、上の表で白くなっている数が100以下のすべての素数とわかります。
最後に補足しますが、ある大きな自然数（例えば573491273）が、
素数かどうかを判定する方法は、現在までの科学では発見されていません。
私も先日、223が素数かどうかを生徒に聞かれ、すぐには答えられませんでした。
まぁ、算数であまり大きな数の素数判定は必要ないでしょうが、
200くらいまでの自然数が素数かどうかは、すぐに判断できると便利です。
何回か「ふるい」を実行すれば、素数かどうかを暗記してしまう人もいるでしょうね。
ぜひ大きな紙に１〜200までの整数を並べ、
200までの「エラトステネスのふるい」に挑戦してみてください。
では最後に宿題です。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。
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