みんなの 講座
ＰＡＲＴ２
算数の入試問題にも、時代に応じた新傾向なブームがあります。
よく言われるのは、上位の難関校が先駆けとなって新問題のスタイルを切り拓き、
中堅以下の学校がそれをマネして追いかけていくという図式ですね。
それとは別に、いつの時代も変わりなく、安定して出題される問題もあります。
今回紹介する問題は、そんな歴史的安定感のある問題です。
ボクらが子供の頃から、そして現在に至るまで、
はたして何百問作られたかわからないほど人気がありますよ。
つまり、キミたちの受ける模試や入試でも、きっと何問かは見かけることになる！
だったら克服しておかないと損しますよね。
では、早速まいりましょう。今回は、こんな問題です。
下の図のような長方形の辺の上を、点Ｐは辺ＡＤ上を、点Ｑは辺ＢＣ上を
それぞれきまった速さで往復しています。
また、２点Ｐ、Ｑを結ぶ直線の左側の図形をＳとします。
点Ｐが点Ａを、点Ｑが点Ｂを同時に出発し、点Ｑが一往復する間の
図形Ｓの面積は下のグラフのようになりました。
（１）点Ｐと点Ｑの速さの比を求めなさい。
（２）15秒後の図形Ｓの面積は36cm2でした。
長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
（３）図形Ｓが長方形となるのは何秒後ですか。
すべて求めなさい。
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問題の状況は飲み込めましたか？
長方形の上辺上をＰが動き、下辺上をＱが動きます。
ＰとＱは同時に出発しますが、速さが違うので、線分ＰＱが斜めになるように
ＰとＱの位置がズレていきます。
そしてそのときに、線分ＰＱの左側にできる図形がＳで、
その面積がグラフとして与えれているわけです。
では、これからボクがみなさんに<素朴な質問>をしますので
ちょっと考えてみてください。
<素朴な質問>
ＰとＱってどっちが速いんですか？
また、それはどうしてですか？
<素朴な質問／お答え>
速いのはＰです。
しかし、その理由は、問題の図でＰがＱより右に書いてあるからではありませんヨ。
ＰとＱは頂点に到達すると折り返しますから、もしかすると、Ｑが一度Ｃに到達し、
折り返して戻ってきたあとの図かも知れません。
算数の問題では、安易に理由なく、図だけで大切な判断をしてはいけません。
では、Ｐの方が速い本当の理由は？
問題文をよく読んでください。
上のグラフは Ｑが一往復する間のグラフ
と書いてあります。
つまり、Ｑは一往復に30秒かかっている。すると片道が15秒ですから、
その前の10秒のときに、グラフが変化しているのはなぜか？
と考える。
そうそう、10秒のときにＰがＤに到着したからグラフが変化するんですね。
片道10秒のＰと、片道15秒のＱ。当然Ｐの方が速いわけです。
このことで、（１）の答えがわかります。
（１）
片道という等しい距離を、Ｐは10秒、Ｑは15秒かかるので、
（速さの比）＝（時間の逆比）だから、
Ｐの速さ：Ｑの速さ＝15：10＝３：２ ← （１）の答え
このような問題にあたる場合、出題される設問は限られていますが、
その設問だけを解いて満足してはいけません。たとえ設問になくても、
いろいろなことを考えてみるのが、とても勉強になるからです。
たとえばボクが出題者だったら、
線分ＰＱによって左右に分けられる２つの図形の面積が
等しくなるのは何秒後ですか？
↑こんな設問を出すかも知れませんよ。
難しい学校なら、もっと手ごわい設問を用意することでしょう。
このタイプの問題は、条件を決めてしまうと、設問が限りなく作れるんです。
それがこのような問題の廃（すた）れない理由の１つでしょうし、
だからこそみなさんは、与えられた設問だけをクリアして、
それで満足していたらいけないのです。
さて、上のグラフの変化点に、ア〜エのカタカナをつけてみました。
それぞれの箇所で何が起こったか、整理し直してみましょう。
◇グラフのアで起きたこと（10秒後）
点Ｐが点Ｄに到着しました。
点ＱはＢＣ上のＢから2/3の地点でＣに向かっています。
（速さの比３：２が利用できます）
◇グラフのイで起きたこと（15秒後）
点Ｑが点Ｃに到着しました。
点Ｐはすでに折り返し、ＤＡ上の中間点でＡに向かっています。
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ここまで考えると、問題（２）の答え、
さらに問題（３）の答えの１回目が出せます。
（２）
問題の条件に、15秒後のＳの面積が36cm2 とあります。
15秒後のＳの面積は、上に示したように長方形ＡＢＣＤの3/4だから、
長方形ＡＢＣＤ＝36÷3/4＝48cm2 ← （２）の答え
（３）
図形Ｓが長方形になるのは、Ｐの真下にＱがくるときです。
そのような状態になる１回目が、アとイの間にあります。
10秒後にＰがＤを折り返すと、ＰとＱは向き合って進むことになり、
10秒後のＰ、Ｑの隔（へだ）たりを<１>とすれば、
Ｐの速さ：Ｑの速さ＝３：２より、
Ｐが<3/5>、Ｑが<2/5>の距離を進んだところで、
ＰとＱが出会う（Ｐの真下にＱがくる）はずです。
Ｑは<１>の距離を進むのに５秒（10秒後〜15秒後）かかりますから、
<2/5>の距離を進むには２秒かかり、
このことから、Ｐの真下にＱがくるのは、
10＋２＝12（秒後）
とわかります。 ← （３）の答え／１回目
◇グラフのウで起きたこと（20秒後）
点Ｐが点Ａに到着しました。この後、２回目の往復を始めます。
「一往復で終わり」とは問題の条件にない！ 注意してください。
点Ｑはすでに折り返しを終え、ＣＢ上の1/3の地点で
Ｂに向かっています。
◇グラフのエで起きたこと（30秒後）
点Ｑが点Ｂに到着しました。
ここでグラフは終了しています。
点Ｐは２度目のＤ地点に到着しています。
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ウとエの間に、（３）の答えの２回目があります。
20秒後にＰがＡを折り返すと、ＰとＱは再び向き合って進むことになり、
20秒後のＰ、Ｑの隔（へだ）たりを［１］とすれば、Ｐの速さ：Ｑの速さ＝３：２より、
Ｐが［3/5］、Ｑが［2/5］の距離を進んだところで、Ｐの真下にＱがくるはずです。
Ｑは［１］の距離を進むのに10秒（20秒後〜30秒後）かかりますから、
［2/5］の距離を進むには４秒かかり、
このことから、Ｐの真下にＱがくるのは、
20＋４＝24（秒後）
とわかります。 ← （３）の答え／２回目
以上で、問題はすべて解決してしまいました。
あまり突っ込んだ設問もなかったので、ラッキーだったかも知れません。
実は今回の問題は、東京・吉祥女子中学の入試問題でした。
タイトルの根拠はそれだけです。なんとまぁ安易なタイトルだこと(^-^*)
吉祥女子は、偏差値が高いわりに、とても素直で親切な問題の多い女子校なので、
ここで使った問題も例外ではなかったようです。
しかし、意地悪な学校なら、もっと解きにくい設問をたたきつけてくるはず！
さんじゅつまんは、それがちょっと心配なので、途中でボクが想定した問題を、
今回のみなさんへの課題にしておこうと思います。
この講座のまとめの意味で、しっかり考えてみてください。
そして、もしそれもクリアできてしまったら、出題者になった気分で、
自分だったらこんな設問を作るな〜
とかも考えてみてください。
お気に入りの設問が作れたら、解答メールの下の方でお知らせください。
デキがよければ、どこかに発表させてもらうかも知れませんよ;^^)
それでは今回はこの辺で！ また次回の講座でお会いしましょう。
最後に＜わかった〜？＞があります。
できた人は、トップページ（または目次ページ）にある
「解答用紙」のボタンから解答を送信してください。
正解の場合、個人正解ボックスのページに掲載いたします。
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