みんなの 講座
ＰＡＲＴ２
ちょっと古い自慢話をさせてください。
もう３、４年前の話ですが、某県の教育委員会から
１通のメールを頂いたことがあります。
その用件は、ボクの書いている「みんなの算数講座」の１つを、
ナ、ナ、ナント、小学校の先生たちに配る算数指導用の資料として
そのまま複写して使わせてもらえないか、というものでした。
そんな光栄な講座は、ＰＡＲＴ１の第３講座です。
ＰＡＲＴ１の第３講座といえば、
食塩水の問題に有効なてんびんについて説明した講座です。
もちろん、光栄なお話なので２つ返事でＯＫしましたけど、
てんびんは、塾の算数ではすごく当たり前の話だったので、
嬉しい反面、アレをね〜ぇ
なんて驚きも隠せませんでしたね。
でもやっぱり感激でした;^^)
だって、ボクの書いた算数講座が、指導用資料として
全県の小学校の先生に配付されたわけですから。
その後、熱心な先生がボクにメールをくれたりしましたっけね。
長くホームページをやっていると、いろいろイイことがあるものです。
ところが…
あの講座で説明したてんびんは、
それがフイットした問題なら、とても便利に答えが出せちゃうのですが、
てんびんの使用が封印されていて、それ以外の別の発想をしないと、
答えにたどりつけない問題もいろいろあるんです。
今回は、そんな意地悪（？）な食塩水問題を２題です。
前置きが長かったですから、早速いきましょうか。
［問題１］
２つの容器Ａ、Ｂがあり、Ａには12％の食塩水が300g、
Ｂには７％の食塩水が200g入っています。
２つの食塩水から同じ量の食塩水を取り出し、
Ａから取り出したものをＢに、Ｂから取り出したものをＡに入れて
よく混ぜると、Ａ、Ｂの食塩水の濃度は等しくなります。
初めに取り出した食塩水は何ｇずつですか？
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簡単ですか？
Ａ、Ｂそれぞれの食塩水の濃度、それぞれの重さはわかっていますが、
すべてを混ぜ合わせるわけではなく、同じ量の一部分を交換する問題です。
まず、他に手がかりもなさそうなので、与えられた数値を使って、
全部混ぜ合わせたときの濃度を求めてみましょう。
「Ａ 12％の食塩水300g」
と 「Ｂ ７％の食塩水200g」を
全部混ぜ合わせると↓
食塩水の重さ…300＋200＝500g
食塩の重さ…300×0.12＋200×0.07＝36＋14＝50g
混ぜ合わせたときの濃度…50÷500＝0.1＝10％
美しくわり切れました。全部混ぜ合わせると10％になります。
さてここで大切な発想！ なかなか浮かびにくいけど…
＜同じ量を交換したときに等しくなる濃度＞ それはすなわち
＜全部混ぜ合わせたときの濃度＞ と同じです。
わかりますか？ もう少しくわしく言い直しましょう。
<同じ量の部分交換でＡとＢの食塩水の濃度が等しくなった>
→<その等しい濃度の状態になったとき、ＡとＢを全部混ぜても
やはり等しい濃度に変わりはない>
→<それは、初めから全部混ぜたのと同じこと> です。
つまり、同じ量の部分交換を終えたあとの食塩水新Ａと新Ｂは、
どちらも10％（初めから全部混ぜ合わせたときの濃度）なのです。
ということは、食塩水新Ａも新Ｂも、12％の食塩水と７％の食塩水を
３：２の割合で含んでいなければならない。
※12％の食塩水と７％の食塩水を３：２の割合で混ぜると10％になる（最初の計算）
これらのことから、はじめにあった食塩水Ａ（12％）では、
300÷（３＋２）×３＝180ｇ がそのままＡに残され、
300-180＝120g が食塩水Ｂに移されます。
同じように、はじめにあった食塩水Ｂ（７％）では、
200÷（３＋２）×２＝80ｇ がそのままＢに残され、
200-80＝120g が食塩水Ａに移されます。
当然どちらの計算でも３行目の数値が一致していますが、
初めに取り出した（交換した）食塩水は 120g
ずつとわかります。
考え方さえ理解できていれば、とても簡単な問題です。
本当は、ＡとＢを全部混ぜたときの10％という濃度も出す必要がない。
300g と 200g を ３：２ として比例配分に利用すれば
ハイ終わり の問題です。
でもこ〜ゆ〜 ｅａｓｙ な発想こそ盲点になりやすいものです。
しっくりいかない人は、もう一度ゆっくり読み直してくださいね。
［問題２］
新庄クンは、15％の食塩水100gを作る予定で、
水100gに食塩15gをとかしました。
ところが、できた食塩水が15％でないことに気づき、
食塩水をある量だけ捨て、さらに食塩をある量だけとかして
15％の食塩水100gを作りました。
新庄君が捨てた食塩水の量と、あとでとかした食塩の量は
それぞれ何gですか？
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易しそうに見えますが、うまく手順を追っていかないと、
だんだんアタマがこんがらがっていく問題です。
例年、イライラする生徒がたくさんいます。みなさんは冷静に対処できますか？
新庄君が間違えて作った食塩水と、最後にできた正しい食塩水を比較します。
【Ｍ 間違いの食塩水】 食塩15ｇ 水100ｇ 全体115ｇ 濃度15/115＝3/23
【Ｒ 正しい食塩水】 食塩15ｇ 水85ｇ 全体100ｇ 濃度15/100＝15％
Ｍの状態をＲの状態に直したいわけですが、
減らしたい量は水15ｇであり、全体15ｇではありません。
（全体15ｇを減らすと食塩も減ってしまう…）
Ｍの状態は濃度3/23ですから、水の占める割合は１−3/23＝20/23
よって、Ｍの食塩水が水15ｇを含むための食塩水全体の量は、
15÷20/23＝17.25ｇ ← 相当算の基本
（比べる量）÷（割合）＝（もとにする量）
つまり、Ｍの状態から食塩水17.25ｇを捨てれば、水15ｇが捨てられます。
このことで水15ｇが捨てられましたが、食塩水17.25ｇの中には
17.25×3/23＝2.25ｇの食塩が含まれていますから、
その分の食塩を補わなくてはなりません。
よって、最後に補う食塩の量は 2.25ｇ です。
（もちろん全体量の不足分として
17.25−15 と考えてもＯＫ！）
答え 捨てる食塩水 17.25ｇ あとでとかした食塩
2.25ｇ
以上、<食塩水問題＝てんびん>
には例外もあるよ〜というお話でした。
本来、例外と言えば少ないはずなんだけど、あんまり多くの塾が
食塩水のてんびんを（面積図も）流行らせちゃったもんだから、
最近は、てんびんの使えない食塩水問題も増加傾向にありますね。
以前、ＰＡＲＴ１の第３講座で「そのうちてんびんの弱点も書きます」なんて
宣言しながら、他の内容に押されてなかなか書く暇がなかった。
だから、だいぶ久々でしたけど、今回は食塩水問題に触れてみました。
ではこれで終了。 みなさん、第15講座でまた算数しましょうね！
最後に＜わかった〜？＞があります。
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