みんなの 講座
ＰＡＲＴ２
立体の切断面。
とっくにとっくに書いてなくてはいけない超重要項目なのに、
なぜか今頃になって、ようやく67講座目の初登場です。
理由があります。しかしこの理由は言い訳です。
言い訳とは聞きづらいものですよね。
「言い訳をするんじゃないっ!!!」
親や先生が子供たちを叱るときの常套（じょうとう）文句です。
だから、言い訳の嫌いなヒトは、次の１行を読まないでください。（無理か;^^)
「ボク、立体の図をたくさん作ってアップするのがヤだったんだよ〜〜〜」
厳しい人には、まだまだ叱られそうですが、
本題の方向へ逃げてごまかします。次の基本図をどうぞ！
ただの立方体です。この講座では、この図を基本図と呼びますね。
算数の問題で、昔も今もいつの時代も大流行なのは、
この立方体の周囲辺上に任意の３点を与え、その３点を含む面で
基本図の立方体を切断したときの切断面（切り口）を考える問題です。
なぜ、与える点が３点かといえば、<平面は３点によって決定する>という
平面の決定条件が関係しています。
少し話がそれますが、２点を含む平面は無数に存在して１通りに定まりませんし、
４点以上になると、それらすべての点を同時に含む平面の存在が怪（あや）しくなります。
偶然存在することもあるでしょうが、必ず存在する保証がなくなります。
だから３点です。
３点を与えることで、すごくすっきり、たった１通りの平面が決定されるのです。
では、ここから４問の問題を並べます。（最後の図４は宿題です）
どの問題にもカラー表示した３点を与えていますので、それら３点を含む面で
立方体を切断したときの切り口の図形名称を考えてください。
イメージするだけでもよいですが、できればこのページを印刷するか、
または別紙に同じような図を書いて、実際に書いてみてほしいです。
なお、カラー表示の赤い点は立方体の頂点、
青い点は立方体の各辺の中点です。
次の図１〜図４の立方体について、与えられた３点を含む平面で切断したとき、
切り口はどのような図形になりますか？
 
 
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では、図１〜図３について解説しましょう。
まず、次に挙げる立方体切断のレジュメ＆反則をアタマに入れてください。
レジュメ１
立方体の同じ側面上にある２点は直接つないでよい
（立方体には６つの側面がある。２点が、どの側面上にあってもつないでよい）
反則
立方体の同じ側面上にない２点を直接つないではいけない
レジュメ２
平行に向き合っている立体の面においては
切り口の辺も平行に向き合う（平行な面に切り口の辺が存在するとき）
レジュメ３
切り口を答えるときは、もっともふさわしい図形名で答える
（平行四辺形を四角形、二等辺三角形を三角形などはＮＧ！）
〜図１ 解説〜
もっとも基本的な問題です。
ＢとＤ、ＢとＧ、ＤとＧは、すべて同じ側面上にある２点です。
したがってレジュメ１より、それぞれストレートに直線でつなぐことができ、
切り口は下の図のような正三角形になります。
レジュメ３にも書きましたが、三角形などと答えると不正解になります。
ＢＤ＝ＢＧ＝ＤＧを確認し、なるべく詳しい名前で答えてください。
〜図２ 解説〜
１ヶ所だけ落とし穴があります。
ＢとＤ、ＤとＨはダイレクトに結べますが、ＢとＨをダイレクトに結ぶことはできません。
<反則>に書いたように、ＢとＨは同じ側面上にある２点ではないからです。
このような場合がレジュメ２の出番です。
立方体の上の面（ＡＢＣＤ）と下の面（ＥＦＧＨ）は平行に向き合っていますから、
平行な面では切り口も平行になり、Ｈを通るＢＤの平行線が切り口の１辺になります。
するとその平行線はＦＨとなり、ＢとＦは同じ側面上にある２点なので結べます。
切り口は下の図のような長方形になります。
〜図３ 解説〜
図２と同じように考えます。
ＰとＱ、ＰとＦはダイレクトに結べますが、ＱとＦをダイレクトに結ぶことはできません。
ＱとＦは同じ側面上にある２点ではないからです。
Ｆを通るようにＰＱの平行線を引いてください。
その平行線はＦＨとなり、ＱとＨは同じ側面上にある２点なので結べます。
切り口は下の図のような等脚台形になります。
＜解答整理＞
図１ ＢＤ＝ＢＧ＝ＤＧの正三角形
図２ 長方形
図３ ＰＱとＦＨは平行、ＰＦ＝ＱＨの左右対称な等脚台形
どうですか？
立方体の切り口。簡単だったでしょう？
しかし、（優秀な方はご存知かと思いますが…）
残念なことに、
レジュメ１・２だけでは解明しきれない切り口パターンもあるんです。
その場合は面や辺を広げる（延ばす）という別のテクが必要になりますが、
それについては次回後編で扱いたいと思います。
なるべく早くアップしますから、また続きを読みにきてくださいね！
それじゃ、今回の前編はここでおしまい。解散。
最後に＜わかった〜？＞があります。
できた人は、トップページ（または目次ページ）にある
「解答用紙」のボタンから解答を送信してください。
正解の場合、個人正解ボックスのページに掲載いたします。
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