みんなの講座 ＰＡＲＴ２



どうも最近、図形問題の講座を避けがちです。

なぜか？

本当はもっとバンバン図形の講座を書きたいのですが、
なんせ黒板やホワイトボードと違って、
ＷＥＢ上に図版を上げるのが骨、骨、骨・・・なんです。
そ〜ゆ〜のが得意な人には全然ど〜ってことないんでしょうけど、
なんせそのあたりは素人同然なもんですから、
ついつい図を必要としない代数的な講座に逃げちゃう。

でも算数の教師たるや、図形問題から逃げてばかりいるわけにはいきません。
で、今回はがんばってソフトを使い図を用意しました。
やればやったで結構楽しいし、こうして自分で書いた図を見直すと
意外にうまくできてるじゃんって感じ;^^)

きっと勉強も同じだよね。めんどくさがり屋さんに成績の良い人は少ないでしょう。
手間暇（てまひま）かけてやっているうちに、ようやくたどり着く発見も多いだろうし、
そうして時間をかけて自力で発見したことは、
他人に教わったことより何倍も自分の財産として残りやすい。
うさぎとカメの競争でも、やっぱり勝者はカメさんだもんね。
※ｂｕｔ国際的には反論もあるらしい。寝ている間に抜き去るカメは性格が悪いとか、
　うさぎは病気だったかも知れないのに助けないカメは冷たい…など。
　どうやら一方的にカメを賛辞するのは日本人独特の発想らしい。脱線失礼！


さて下の図。
４×４×４＝64個の小立方体を積み上げて作った大きな立方体。
それをどうするかっていうと、
３点ＡＢＣを通るような平面で切断します。（ちなみに切り口は正三角形）

そのときの切断によって、64個の小立方体は、
無傷なヤツ（生還者）と壊れるヤツ（負傷者）に分かれるでしょ？
今回のテーマは、何個が負傷者で何個が生還者かって内容。
さあ皆さん考えてください。できそうですか？



この問題ね〜、
見た目（見取り図）だけで突き止めようとすると、なかなか難儀なんだよね。
ハッキリ負傷者、生還者と確信できるものもあるんだけど、
これはどっちだろう？って微妙なヤツがいくつかある。
よっぽど空間図形のセンスがある人でも、見た目だけで答えを出すのは
大変じゃないかな。
まぁ上の問題は、全体が４×４×４の整った形の立方体だから
切断面が中途半端な場所を通らないので、空間センスのある人や、
勘の冴えている人なら、見ただけでわかっても不思議ないけどね。

でも寸法が変わってくると、見た目での判別は難易度アップだと思う。
たとえばこんなの↓

最初の問題と違ってタテ・ヨコ・高さの寸法が全部違う。
全体の個数は２×４×３＝２４個でさっきよりだいぶ少ないけど、
こっちの方は切断面が中途半端な箇所も通るから、
見た目での判断は難しくなっているはずです。

ではさっそく、こんな問題に有効な解法を紹介しましょう。


このように、真上から見た図（平面図）を書き、切断面の移動経路を記入していきます。
よほど複雑な問題でなければ、１枚の平面図で間に合うでしょう。

切断が直線ＡＢから始まるとすれば、
切断面は、ＡＢ〜ＤＥまでを通過して一番上段の切断を終えます。
そのときに負傷する小立方体はＡＢ、ＤＥにはさまれた７個。（アで示した）

その後、切断面はＤＥ〜ＦＧまでを通過して上から２段目の切断を終えます。
そのときに負傷する小立方体はＤＥ、ＦＧにはさまれた５個。（イで示した）

同様に、切断面はＦＧ〜ＨＩまでを通過して上から３段目の切断を終え、
そのときに負傷する小立方体はＦＧ、ＨＩにはさまれた３個。（ウで示した）

最後、切断面はＨＩから頂点Ｃへ抜けて一番下段の切断を終えます。
そのときに負傷する小立方体はＨＩ、点Ｃにはさまれた１個。（エで示した）

以上のことから、負傷する小立方体は全部で ７＋５＋３＋１＝16個
無事生還できる小立方体は 64−16＝48個


では２問目もやってみます。

切断がＡＢから始まれば、
切断面はＡＢ〜ＤＥを通過して最上段の切断を終えます。
（Ｄ、ＦはＡＣの３等分点。Ｅ、ＧはＢＣの３等分点）
このときに負傷する小立方体は６個。（１個をアで示した）

その後、切断面はＤＥ〜ＦＧまでを通過して上から２段目の切断を終えます。
そのときに負傷する小立方体は４個。（１個をイで示した）

最後、切断面はＦＧから頂点Ｃへ抜けて一番下段の切断を終えます。
そのときに負傷する小立方体は２個。（１個をウで示した）

以上のことから、負傷する小立方体は全部で ６＋４＋２＝12個
無事生還できる小立方体も 24−12＝12個


どうでしたか？　すごく簡単だった？
それはきっとボクの説明がうま…　　じゃなくて、皆さんが優秀な証拠でしょう。
小学生の算数でも、中高生の数学でも、生徒の理解がもっとも悪いのは
なんといっても空間図形の問題です。

そりゃそうですよね。もともと立体的な実物を、平面の中に収めて考えるわけで、
そのこと自体無理もあるし、難しいに決まってます。
まぁ将来、理系の大学に進んで、建築士や設計士を目指したいなんて
お子様がいらしたら、何とか空間把握力を鍛えさせないとアカンですけど、
普通の入試には、限られたパターンの問題しか出題されませんから、
ある程度出題パターンを調べておけば、そんなに困ることは多くないでしょう。


でも子供っていいですよね。
子供の時代なら、総理大臣目指したって、宇宙飛行士目指したって
ご本人の自由ですもん。
その点、われわれみたいなトシになって、そんなこと口に出したら、
あなたアタマ大丈夫？熱でもあるの？って体温計持って来られちゃいますでしょ？
あ〜あ〜、こうしていつも脱線していくさんじゅつまんの授業。
何も最後になって脱線しなくてもいいのに…。

長くなりすぎました。ではまたなるべく近いうちに！


最後に＜わかった〜？＞があります。
できた人は、トップページ（または目次ページ）にある
「解答用紙」のボタンから解答を送信してください。
正解の場合、個人正解ボックスのページに掲載いたします。

　＜わかった〜？　Ｗ５＞　
　講座２問目の立体は、タテ２×ヨコ４×高さ３＝計24個の直方体でしたが、
　タテ３×ヨコ５×高さ３＝計45個の直方体の場合は、
　何個の小立方体が負傷者になるでしょうか？
　※切断面は、講座の２問と同じ要領で、直方体の３つの頂点
　　　（左上手前Ａ、右上奥Ｂ、右下手前Ｃ）を通る三角形ＡＢＣとします。