みんなの 講座
今回は、約数の個数について考えてみることにしましょう。
ご存知かと思いますが、まず約数のおさらいから。
約数とは、その数を整数の範囲でわりきれる数のことです。
具体的に書いたほうがわかりやすいでしょう。
８の約数 １ ２ ４ ８
30の約数 １ ２ ３ ５ ６ 10 15 30
こんな感じです。８には４個の約数があり、30には８個の約数があります。
では、さっそく次の問題です。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ８ ・・・・・
かなりいっぱいありそうですね。
根気よく書き上げていってもいつかはわかりそうですが、
チョット疲れますよねえ。
ん？ ２つずつ組にして求める？ なるほどなるほど。
小さい方から １ ２ ３ ４・・・ と求めるのと同時に
（１ 720）（２ 360）（３ 240）（４ 180）・・・
積が720になるように、大きい方とセットで求めていく。名案です。
これだと労力が半分で済みますが、
それでもやはり、かなりの注意深さと辛抱強さが必要です。
途中で何個か抜かしてしまう可能性も高いでしょう。
そこで今回のテーマとなるわけです。
なんとか約数の個数を計算で求められないか？ もちろんできるんです。
やり方はこーです。
手順１ 約数の個数を求めたい整数を素因数分解します。
素因数分解とは、素数の積の形で表すことです。
※素数→１とその数自身以外に約数を持たない数 （ただし、１は素数ではない）
720＝（２×２×２×２）×（３×３）×（５）
手順２ その結果について、素数の個数を種類別に数えます。
２→４個 ３→２個 ５→１個
手順３ 個数にそれぞれ１を加えます。
４＋１＝５ ２＋１＝３ １＋１＝２
手順４ それらをかけ算します。
５×３×２＝30（個） ← これが720の約数の個数です
では根気よく確かめをしてみましょう。
（１ 720）（２ 360）（３ 240）（４ 180）（５ 144）（６ 120）（８ 90）（９ 80）
（10 72）（12 60）（15 48）（16 45）（18 40）（20 36）（24 30）
パチパチパチパチ！ 確かに30個ですね。
では今の計算の理屈も説明しておきます。
約数とは、素因数分解したときに現れる素数（720を生成する部品）を、
いろいろなバリエーションでかけ算することで作ることができます。
たとえば720には、２が４個、３が２個、５が１個の部品があったわけですが、
その一部を使ってかけ算すれば、（２×２）×３＝12 （２×２×２）×５＝40 のように
720の約数を作ることができるわけです。
つまり、２、３、５という素数（部品）を使って、
別々の積になるかけ算のパターンが何通りあるか？
これが約数の総数ということになります。
そこで、それぞれの素数（部品）の使い方のバリエーションを考えると、
２という素数（部品）は ４個使う ３個使う ２個使う １個使う ０個使う →５通り
３という素数（部品）は ２個使う １個使う ０個使う →３通り
５という素数（部品）は １個使う ０個使う →２通り
ここで少々場合の数の知識が必要になりますが、
２の使い方が５通り、３の使い方が３通り、５の使い方が２通りありますから、
これらを組み合わせてできるかけ算のパターンは ５×３×２＝30（通り）
すなわち、720の約数は30個となるわけです。
あ、ボクが書こうとする前に気づいた人がいるみたいですね。
そう、初めの手順３で＋１をしたのは、その素数（部品）の使い方に、
０個使う（使わない）という使い方があるからですよ。
今回の講座、理解してもらえましたか？
それでは最後に宿題を出しましょう。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。
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