みんなの 講座
「・・・・・は何通りありますか？」
算数でも数学でもよく見かける問題です。
算数では場合の数というジャンルに分類されていますが、
場合の数の問題は、大別して２通りのパターンがあります。
１つは、決まった計算式で簡単に答えが得られるもの・・・（A）
もう１つは、場合分けという作業が必要になるもの・・・（Ｂ） です。
やはり、（Ｂ）のパターンが苦手な人が多いようですね。
では、それぞれ簡単な例を示してみましょう。
（Ａ）１、２、３、４と書いたカードが１枚ずつあります。
これらを並べてできる４けたの整数は
全部で何通りありますか？
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上位の位から考えると、
千の位→４通り
百の位→３通り（千の位で使った１枚が減るから）
十の位→２通り（さらに百の位で使った１枚が減るから）
一の位→１通り（さらに十の位で使った１枚が減るから）
よって、４×３×２×１＝24（通り）
← 答え
このように一度の計算で答えが出せます。
場合の数の積の法則などと言いますが、そんな名前はどうでもよいので、
このかけ算の感覚を大切にしてください。
（Ｂ）０、１、２、３と書いたカードが１枚ずつあります。
これらを並べてできる４けたの偶数は
全部で何通りありますか？
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（Ａ）の問題とはアプローチが違います。
０が含まれていることと、偶数という条件があるからです。
このように、いくつかの特別な条件のある問題では、
一度の計算で答えを出すことができません。
次のような場合分けが必要となります。
偶数ですから、一の位は０または２です。
その２つのパターンに場合分けします。
〈一の位が０の偶数 □□□０〉
上位の位から考えて、
千の位→３通り（一の位に固定された０を除くから）
百の位→２通り（千の位で使った１枚が減るから）
十の位→１通り
３×２×１＝６（通り） ← 一の位が０の偶数は６通り
〈一の位が２の偶数 □□□２〉
上位の位から考えて、
千の位→２通り（一の位に固定された２を除き、千の位には０が使えない）
百の位→２通り
（千の位で使った１枚が減るが、今度は０が使えるから千の位と同じ２通り）
十の位→１通り（百の位で使った１枚が減るから）
２×２×１＝４（通り） ← 一の位が２の偶数は４通り
これら２つのパターンを合計し、
４けたの偶数は全部で ６＋４＝10（通り） ← 答え
※場合分けをしたときは、それぞれの結果を加えて最終的な答えとする。この感覚を忘れずに！
では次に今回のメイン問題です。
下の図は、先週ロシアから独立した新国家「サスーン」の
国旗ですが、ア〜エにぬる色がまだ決まっていません。
使える色は赤・青・黄色・緑の４色ですが、必ずしも４色を
すべて使う必要はありません。（すべて使ってもよい）
この国旗の色のぬり分け方は全部で何通りありますか？
ただし、となり合う区画に同じ色をぬることはできないもの
とします。
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この問題は、場合分けの感覚を身につけるために最適な問題です。
場合の数にすっかり慣れている人なら、
頭の中の計算だけで押し切ることもできそうですが、
ここではしっかりていねいに、紙に書いて確認しながら、
場合分けの感覚を養ってほしいと思います。
問題の条件に、「４色すべてを使う必要はない」とあります。
つまり、４色すべて使ってもいいが、３色で済ませてもいいということです。
２色では不可能ですから、４色か３色です。
ならば、４色使う場合と３色使う場合に場合分けするのがごく自然です。
やってみましょう。
〈ケース１〉４色でぬり分ける
これは簡単です。
さきほどの数字並べの問題と同じように、
アにぬる色・・・４通り
イにぬる色・・・３通り（アにぬった１色が減るから）
ウにぬる色・・・２通り（さらにイにぬった１色が減るから）
エにぬる色・・・１通り
よって、４色でぬり分ける方法は ４×３×２×１＝24（通り）
〈ケース２〉３色でぬり分ける方法
３色の場合は、必然的にイとエが同じ色となります。
（それ以外の区画はすべてとなり合っているから同じ色にできない）
アにぬる色・・・３通り
イ（エ）にぬる色・・・２通り（アにぬった１色が減るから）
ウにぬる色 ・・・１通り
３×２×１＝６（通り） ← Ａ
さらに３色の場合、ぬるために用いる色の選び方も考慮する必要があります。
色の選び方は次の４通りです。
＜赤青黄 赤青緑 赤黄緑 青黄緑＞ （＊１参照）
よって、３色でぬり分ける方法は、さきほどの６通り（Ａ）に、
色の選び方を考慮して、
６×４＝24（通り） ← ３色でぬりわける方法は24通り
これらのことから、サスーン国の国旗をぬり分ける方法は、
〈ケース１〉の24通り、〈ケース２〉の24通りを加えて、
24＋24＝48（通り）となります。
みなさん、場合分けの感覚をつかんでいただけましたか？
今回の講座はこれで終わりますが、
また別の機会にも場合分け問題を取り上げてみたいと思います。
え？ 今の問題を一発の計算で済ませる方法があるって？
鋭（するど）いね〜。
確かに４×３×２×２＝48とやれば一発で終わりなんだよね。
でも最後の×２の意味、ちゃんと言えるかな？
単純に２倍してる×２じゃないよ。
アが４通り、イが３通り、ウが２通りで、
最後のエは、残っている１色かイに使った色の２通り。
そのことがちゃんと理解できている人なら４×３×２×２でもいいよね。
でもね、
この場合は・・・、そしてこの場合・・・、と場合分けしながら
最後に求めていったパターン数を合計する。
これが難しい「場合の数の問題」に立ち向かう王道なんだよね。
完全に意味のわかる場合を除き、安易に計算で済ませようとしてはイカン。
場合の数の問題では、このことを肝（きも）に銘じてほしいと思います。
それじゃあまた。次回までごきげんよう！
（＊１） ４色から３色を選ぶことは、選ばない１色を決めるのと同じこと。だから当然４通り。
最後に宿題です。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。
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