みんなの 講座
前回の第１講では約数の個数を求めましたが、
今回は、それを応用させ、約数の総和について考えることにしましょう。
前回勉強したように、整数720には30個の約数がありました。
初めと終わりの方だけ並べてみると
１ ２ ３ ４ ５ ６ ・・・・・ 360 720
今回のテーマは、これらの総和を求めることですから、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋・・・・・＋360＋720
すべての約数があらかじめわかっていれば、そんなに大変ではないでしょうが、
やはり約数をすべて求めてから加えるのでは、あまりにも原始的なやり方で、
とても科学的な現代人のする作業ではありません。
もったいつけるのはやめましょう。
約数の総和も計算式で求めることが可能です。
では早速そのやり方。
手順１は前回（第１講 約数の個数の求め方）とまったく同じです。
手順１ 約数の総和を求めたい整数を素因数分解します。
720＝（２×２×２×２）×（３×３）×（５）
手順２ それぞれの素数の個数に応じて、次のような計算を行います。
※同じ数を繰り返しかけることを累乗（るいじょう）といいます。
たとえば ２×２×２のように２を３回かけることを２３のように表し、
右上の小さな数字は指数（しすう）といいます。
さほど難しい内容ではないので、ボクは必要に応じて小学生にも教えています。
また、どんな数でも０乗すると１になります。
２は４個だから、２４から２０までを加えます。
２４＋２３＋２２＋２１＋２０＝16＋８＋４＋２＋１＝31
３は２個だから、３２から３０までを加えます。
３２＋３１＋３０＝９＋３＋１＝13
５は１個だから、５１から５０までを加えます。
５１＋５０＝５＋１＝６
手順３ それらをかけ算します。
31×13×６＝2418 → これが720の約数の総和です
720の約数は次に挙げた30個ですから、
念のため、電卓を用意して確かめてみてください。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ８ ９ 10 12 15 16 18 20 24 30 36
40 45 48 60 72 80 90 120 144 180 240 360 720
合ってました？ よかったよかった;^^)
では、今の計算の理屈を考えておきましょう。
説明を簡潔にするために、720ではなく、もう少し小さい整数で考えます。
12にしましょう。12を素因数分解すると ２×２×３
になります。
上の説明と同じように総和をもとめると
（２２＋２１＋２０）×（３１＋３０）
＝（４＋２＋１）×（３＋１）＝７×４＝28 → 12の約数の総和
12の約数は １ ２ ３ ４ ６ 12 ですから、簡単に確認できますね。
１＋２＋３＋４＋６＋12＝28 合ってます。
ここから少し面倒な説明になりますが、がんばって読んでください。
12のすべての約数を素因数分解すると次のようになります。
（１、２、３は分解できないのでそのまま）
１
２
３
４＝２×２
６＝２×３
12＝２×２×３
これらを、３を含むか含まないかの２つのグループに分け、
それぞれを加えてみます。
３を含むもの ３＋６＋12＝（１＋２＋４）×３
※３を含むので、３を（ ）の外へ出した
３を含まないもの １＋２＋４＝（１＋２＋４）×１
※上とそろえるために×１と表した
改めてこれら２つのグループを加えると、
（１＋２＋４）×１＋（１＋２＋４）×３
＝（１＋２＋４）×（１＋３）
ほら、最初の説明と同じ内容の式になったでしょう？
数が大きくなったり、素数の種類が増えても、この理屈はいつも同じです。
約数の総和を計算によって求められる方法、理解してもらえましたか？
では最後に宿題を出します。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。
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