みんなの講座



前から書こう書こうとしていて忘れていたテーマがありました。

忘れていたテーマはＮ角形の公式たち。
中学受験で使うのは、
Ｎ角形の内角の和／正Ｎ角形の１つの内角／
外角の和／Ｎ角形の対角線の総数
といったところでしょうか。

一度整理してあげようと思って、ずーっと忘れていました。
今からでも遅くはありません。
それではＮ角形の公式整理。はじまり、はじまり〜〜〜。


まず公式の紹介です。受験生は必ず暗記しておくこと。
公式の理由はあとで説明します。

〈使用例〉
５角形ならＮ＝５、６角形ならＮ＝６のように、Ｎにあてはめて計算します。
外角の和は計算の必要がありません。
15角形でも60角形でも360度に固定されています。

（例）８角形の内角の和　180×（８−２）＝180×６＝1080度
（例）正８角形の１つの内角　1080÷８＝135度
（例）８角形の対角線の総数　８×（８−３）÷２＝８×５÷２＝20本

では、これらの公式で計算した３角形〜12角形の一覧表をどうぞ。
この一覧表。ありそうであんまりありませんよね。
ボクは軟弱なので12角形で断念しましたが、
努力を惜しまない人は、ぜひ13角形以上を自分で作ってみてください。
どこまでも続けて、ギネスブックに申請できたりしてね(^^*

さて肝心な公式たちの根拠。

はじめに内角の和と対角線の総数について。

上図は、６角形を４つの３角形に分割した様子ですが、
このようにＮ角形は必ずＮ−２（個）の３角形に分割でき、
３角形の内角の和が180度であることから、
Ｎ角形の内角の和は、180×（Ｎ−２）度です。

この６角形で、一番上の頂点に集まる対角線は３本です。
このようにＮ角形は必ず１つの頂点にＮ−３（本）の対角線が集まっていて、
これに頂点の数Ｎをかけると、Ｎ×（Ｎ−３）。
そのままでは往復する対角線をダブッて数えることになるから、
Ｎ角形の対角線の総数はＮ×（Ｎ−３）÷２　本です。

今度は外角の和について。

上図の６角形では、青色で示したように、６つの頂点に６本の直線があり、
角度の合計は180×６＝1080度です。
ここから、６角形の内角の和720度を引くと、外角の和は360度になります。

一般のＮ角形の場合でも、
180×Ｎ−180×（Ｎ−２）となりますから、
この式を整理すると 180×Ｎ が消えてしまい、360度だけが残ります。


最後にもう１つオマケ。
正Ｎ角形の１つの内角は、内角の和を求めてＮで割るという方法以外に、
外角の和（360度）をＮで割って１つの外角を求め、
それを直線の180度から引く という方法もあります。
これを正Ｎ角形の１つの内角を求める＜第二公式＞として、
今回の講座をお開きにしようと思います。

正Ｎ角形の１つの内角＜第二公式＞　180−360÷Ｎ度

それではみなさん、また近いうちに元気でお会いいたしましょう。さようなら。


（追伸）
タイトルの「Ｎの悲劇」ですが、ＮはＮ角形のＮですが、
悲劇には特に意味はありません。（知らないと悲劇の悲劇？）
強いて言うなら、読書不足の最近の子供たちに
エラリークイーン不朽の名作のタイトルを知ってほしかった。
Ｗの悲劇、Ｘの悲劇、Ｙの悲劇ｅｔｃです。みんな、いつか読んでみよう！


最後に宿題です。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。

＜宿題番号31＞

Ｎが２00以下の正Ｎ角形で考えます。
１つの内角の大きさが整数になる正Ｎ角形は何種類ありますか？