みんなの講座



ボクのホームページの話ですが、
多いときは１日に数百人のご来場者がいらして、
算数に関心のある方って多いんだなあ、とつくづく感じています。
しかしボクには本職もあるので、
あまりホームページのことばかりやっていられません。
それで更新をさぼったりすると、お客様はてきめんに減りますね。

考えてみればアタリマエです。
ご飯食べに行くのでも、何か買いに行くのでも、
お掃除や手入れをまったくしないような汚いお店には行く気にならないです。
ホームページも同じみたいです。
最近だいぶ怠けていたから、お客様もだいぶ減っちゃったかな。
まぁでも算数は季節モノじゃないから、期限切れということはないでしょう。
また頑張ってコラムを書きますから、みなさん、ぜひときどき読みに来て、
できたら、このホームページを友だちにも教えてあげてくださいね。


では今回の問題です。

いくつか検討してみましょう。

（検討１）



１つの方向にズラズラと24個並べてみました。
たて＝１　横＝24　高さ＝１なので、
このような積み方を１×１×24と表すことにします。
＊１×24×１、24×１×１も同じことなので、見やすいように小さい順に数を並べます。

さて、直方体の表面積＝（たて×横＋たて×高さ＋横×高さ）×２ですから、
この場合の表面積は、
（１×24＋１×１＋24×１）×２＝（24＋１＋24）×２＝98ｃｍ²となります。

どうもこれが最小の表面積には思えません。
なんとなくみなさんもそう感じませんか？
上の並べ方は風当たりが強そうでしょ？


（検討２）



今度は、たて＝２　横＝12　高さ＝１です。１×２×12と表します。
この場合の表面積は、
（２×12＋２×１＋12×１）×２＝（24＋２＋12）×２＝76ｃｍ²となります。
（検討１）よりは減りましたが、まだまだ小さくできそうですね。
では次。


（検討３）



今度は、たて＝２　横＝６　高さ＝２で、２×２×６と表します。
表面積は、（２×６＋２×２＋６×２）×２＝（12＋４＋12）×２＝56ｃｍ²
また（検討２）より減りましたが、これも解答ではありません。


実は、24個の立方体を積み重ねて直方体を作る方法は６通りあります。
表に整理してみましょう。

表中では、Ｅ（検討３）の場合の56ｃｍ²が最小の表面積ですが、
その下にあるＦの方が表面積は小さくなります。
問題の解答は２×３×４の形に積み上げたときが正解です。

この問題を考えるときのポイントは、
表面積を小さくする→立方体どうしの接着箇所を多くすることです。

１×１×24の直方体の場合、23箇所の接着箇所があり、
それぞれの箇所で２枚の正方形が接着するから、
立方体24個を別々に独立させて置いたときに比べ、
正方形46枚（23×２）分の面積が減ります。計算して確認しましょう。
立方体24個を別々に置けば、表面積の合計は１×１×６×24＝144ｃｍ²
接着によって減る面積は46ｃｍ²、これらの差は98ｃｍ²で、
さきほど上で求めた表面積と一致します。

１×２×12の直方体の場合、34箇所の接着箇所があり、
立方体24個を別々に独立させて置いたときに比べ、
正方形68枚（34×２）分の面積が減ります。
よって表面積は、144−68＝76ｃｍ²

２×２×６の直方体の場合、44箇所の接着箇所があり、
立方体２４個を別々に独立させて置いたときに比べ、
正方形88枚（44×２）分の面積が減ります。
よって表面積は、144−88＝56ｃｍ²

※他の場合もすべて同様

なるべく立方体に近い形に積み上げよう！
今回のような表面積最小問題の鉄則です。

そういえば、問題の最小表面積がいくつになるかは求めませんでした。
それを含めて、上表の空欄ア〜ウを今回の宿題にしましょう。
では、今回の講座はこれでおしまい。またお会いできる日を待っています。


最後に宿題です。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。

＜宿題番号33＞

講座内の表の空欄ア、イ、ウを求めてください。