みんなの 講座
前回でトータル50講座に到達したので、調子に乗って休みすぎてました。
ようやくお待たせ第46講座です。
ひとたび書き始めるとしばらく続く人なので、
このままダダダダダ〜っと10講座くらい進むかもです。
ときどきチェックしにいらしてくださいね。
筆者注・みんなの算数講座ＰＡＲＴ２ができまして、現在そちらの方へ続いています。
現在の講座総数は59まで増えています。(2006/9現在）
さて今回のテーマは数え上げのテクニック。
みなさんの家に国語辞典ありますよね？
はい、言葉の意味を調べるときに使うあの国語辞典です。
さっそく話が脱線しちゃいますけど、国語辞典を書く人ってすごいと思いませんか？
あれって、何千、何万という言葉をほとんど網羅してのせているわけですが、
どうやってその膨大な量の言葉を忘れずにチェックしていくのでしょう？
僕は辞書をみるたびに不思議で不思議で仕方ありません。
今の時代ならパソコンとかを使って何とかなりそうですが、
辞書が初めて生まれた時代にパソコンなんかあったはずないし・・・。
たくさん紙に書いて、どんどん言葉をためていったんでしょうか？
う〜ん、辞書の謎は深しです。
さて本題に入ります。
その国語辞典で、言葉の出てくる順番はご存知ですよね？
そうです。
あ・い・う・え・お・か・き・く・け・こ・さ・し・す・・・の五十音順です。
まず、単語の一番上のひらがなが五十音順。
それが同じときは二番目のひらがなが五十音順です。
以下、二番目も同じなら三番目、三番目も同じなら四番目が五十音順です。
それがどうしたかって？
今回の算数のテーマにそのことが大いに関係あるのです。
先に問題を出してしまいましょう。 たとえばこんな問題です。
ちよのちゃんが全部で７段の階段を上ります。
ちよのちゃんが１度に上る段数は「３段」「２段」「１段」の
どれかです。
ちよのちゃんが７段の階段を上る方法は全部で何通りでしょうか？
|
※脱線ネタ
ちよのちゃんは、ボクの小学校時代の同級生
須田ちよのさん から拝借しました。
実は彼女、フジテレビ「オールナイトフジ」の初代オールナイターズの一員。
元アイドルです。 突然ブラウン管に現れた彼女を1?年ぶりにテレビ見て、
驚きのあまり飛び上がってしまった懐かしい想い出があります。
さすがにもう芸能界にはいらっしゃらないでしょうが、あの人元気なのかなあ？
インターネットの威力に期待して、こんな脱線ネタ数行を残しておきます。
情報来るかな…;^^)
分野としては「場合の数」に属する問題です。
この問題のちょっとやっかいな点は、
一発の計算で求めることが難しいというところです。
一発の計算が無理ならば、いろいろなパターンを地道に数え上げていくのが、
こうした問題への対処法ですが、
人間とは実にそそっかしい生き物でして、何の法則もなく数え上げようとすると、
偶然うまくいかない限り、数え忘れや重複が生じてしまうものです。
そこで数え上げ方に「ある一定の脈絡を持たせよう」
というのが今回の講座のキーワードです。
まず辞書的順序（じしょてきじゅんじょ）という言葉を覚えておいてください。
辞書的順序とは、算数の「場合の数」で数え上げをするときに、
国語辞典と同じように数える方法のことです。
次のお約束を読んでください。
＜辞書的順序の算数的お約束＞
□辞書の「あ・い・う・え・お・か・き・・・」に相当するのは
数字の「１・２・３・４・５・６・７・・・」
数え上げの過程で数字を出すときは、
上の優先順位にしたがって数字を出してください。
１が出せるときは絶対に１を出す。１が出せなくなったら２を出す。
２が出せなくなったら３を出す。・・・
国語辞典において、「う」より「い」が優先され、
「い」より「あ」が優先されるのとまったく同じ要領です。
算数の「１」は国語の「あ」。算数の「２」は国語の「い」。
算数の「３」は国語の「う」。 そんな感じです。
では上のちよのちゃん問題を解いてみます。
「１段上る」「２段上る」「３段上る」のいずれかの方法で
７段の階段を上るパターンは、
「１」「２」「３」の数字をいろいろ組み合わせて合計７を作るということです。
合計７になる「１」「２」「３」の組合せ。これを辞書的順序で調べてみます。
くどくなりますが、合計７を作る際、最も優先する数字は「１」です。
なるべく「１」を使うことを考え、どうしても無理になったら「２」を使ってください。
そして「１」も「２」も使えないときに「３」を使うことを考えましょう。
ではスタート！
パターンＡ １−１−１−１−１−１−１（１だけを使って７にできました）
パターンＢ １−１−１−１−１−２（１を５回使い、残りを２にしました）
パターンＣ １−１−１−１−３（１を４回使い、残りを３にしました）
パターンＤ １−１−１−２−２（１を３回使い、残りの４を２−２に分けました）
パターンＥ １−１−２−３（１を２回使い、残りの５を２−３に分けました）
え〜と途中で補足しますが、この時点での辞書的順序による数え上げは、
合計７になる数字の組合せだけを検討します。
たとえば１−１−１−２−１−１のように、
Ｂと順番だけが異なるものを考える必要はありません。
別の言い方をすると、
ある数字より右に、その数字より小さい数字が出てくることはありません。
ある数字より右に、その数字より小さい数字が出てくると、
組合せとしては必ず他と重複するのです。
数字の並びかえについては、
組合せのパターンを調べてから最後に考えるのが上手な解法です。
では組合せパターンの続きです。
パターンＦ １−２−２−２（１を１回使い、残りの６を２−２−２に分けました）
パターンＧ １−３−３（１を１回使い、残りの６を３−３に分けました）
パターンＨ ２−２−３（始めに２を２回使い、残りを３にしました）
組合せのパターンはこれら８種類で網羅されました。
辞書的順序で整理しながら書き上げたので、これでモレや重複はないはずです。
組合せを網羅するための辞書的順序。感覚をつかんでいただけたでしょうか？
さて、問題の解答ということになりますと、
さきほど途中で補足したように、８種類の組合せパターンについて、
それぞれ何通りの並びかえが可能か？を考えなくてはなりません。
次のようになります。
パターンＡ １通り
※すべて同じ数字なので並びかえはありません
パターンＢ ６通り
※６ケ所の数字のうち１ケ所だけが２だから、２の置かれる場所は６通り
具体的には１１１１１２／１１１１２１／１１１２１１／
１１２１１１／１２１１１１／２１１１１１の６通り
パターンＣ ５通り
※Ｂと同じ考え方
パターンＤ 10通り
※２つの２に注目します。
５ケタの中から、２の置かれる２ケ所を選ぶので５Ｃ２＝10
パターンＥ 12通り
※２の置かれる場所が４通り。
そのそれぞれについて３の置かれる場所が３通り。
よって４×３＝12通り
パターンＦ ４通り
※Ｂと同じ考え方 具体的には１２２２／２１２２／２２１２／２２２１の４通り
パターンＧ ３通り
※Ｂと同じ考え方 具体的には１３３／１３１／３１１の３通り
パターンＨ ３通り
※Ｂと同じ考え方 具体的には２２３／２３２／３２２の３通り
これらを合計して、ちよのさんが階段を上る方法の総数は、
１＋６＋５＋10＋12＋４＋３＋３＝44（通り）
最後にまとめておきます。
このタイプの問題では、まず組合せのパターンだけを調べ（辞書的順序で）、
その後でそれぞれのパターンの並びかえを考えてください。
場合の数に不慣れな人は、組合せを考えるとき、
整理せずにバラバラな順番で考えようとするため、
途中の段階で、すでにどのパターンを考え、
まだどのパターンを考えてないのかを混乱してしまい、
結局ダブリやモレが生じ、正解が得られないという傾向があると思います。
第１に組合せを調べ、それから並びかえの検討です。
それではまた次回！ この講座で元気にお目にかかりましょう！
最後に宿題です。
できた人は、トップページの解答用紙から送信してください。
正解者は「正解者コーナー」で定期的に発表しています。
|
